Slučajna varijabla

Funkcija je matematičko pravilo koje dodjeljuje jedinstveni realni broj svakom elementu datog skupa ishoda. Historijski gledano, u svijetu statistike i vjerovatnoće, realna funkcija definirana nad prostorom uzorka tradicionalno se naziva slučajna varijabla.

Ako prostor uzorka S ima generički element e - ishod eksperimenta, tada je slučajna varijabla funkcija X = X(e). Obično se e izostavlja iz notacije, pa se slučajna varijabla označava velikim slovom X.

Konstanta je trivijalna slučajna varijabla koja uvijek uzima istu vrijednost, bez obzira na ishod eksperimenta.

Način na koji se izračunavaju vjerovatnoće događaja koji uključuju slučajnu varijablu X zavisi o prirodi te slučajne varijable, tj. o mogućnosti brojanja skupa njenih mogućih vrijednosti.

Slučajna varijabla se naziva diskretnom ili kontinuiranom ako je skup njenih mogućih vrijednosti konačan ili prebrojivo beskonačan.

Slučajna varijabla je kontinuirana ili neprekidna ako može uzeti bilo koju vrijednost iz određenog intervala ili podskupa realnih brojeva.

P{X = x} je funkcija vjerovatnoće i izračunava se sabiranjem vjerovatnoća dodijeljenih željenim ishodima. Kumulativna funkcija distribucije je P{X ≤ x}. Poznavanje bilo koje od ove dvije funkcije dovoljno je za izračunavanje vjerovatnoća svih događaja uključenih u P.

Funkcija gustine vjerovatnoće je analogna funkciji vjerovatnoće, ali se koristi isključivo za kontinuirane slučajne varijable.

Dva najvažnija momenta distribucije slučajne varijable su:

• očekivana vrijednost i
• varijansa.

Očekivana vrijednost slučajne varijable

Očekivana vrijednost slučajne varijable je srednja vrijednost distribucije.

Očekivana vrijednost slučajne varijable X izračunava se kao zbir proizvoda svake moguće vrijednosti slučajne varijable X_i i vjerovatnoće da se X_i pojavi:

Osnovno svojstvo očekivane vrijednosti je linearnost: Ako su X i Y slučajne varijable, a a i b konstante, tada

Varijansa i standardna devijacija slučajne varijable

Standardna devijacija je mjera disperzije vjerovatnoća oko očekivane vrijednosti slučajne varijable.

Varijansa slučajne varijable izračunava se kao zbir kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti slučajne varijable od njene očekivane vrijednosti.

Standardna devijacija slučajne varijable dobija se izračunavanjem kvadratnog korijena varijanse.

Uz očekivanu vrijednost, varijansa ili standardna devijacija je parametar distribucije i koristi se za njen opis.

Primjene standardne devijacije slučajne varijable su brojne. Na primjer, u finansijama, standardna devijacija cijene vrijednosnog papira je mjera rizika koji nosi taj vrijednosni papir - što je manja standardna devijacija, to je manji rizik i obrnuto.