Slučajna varijabla

Funkcija je matematičko pravilo koje dodjeljuje jedinstveni realni broj svakom elementu danog skupa ishoda. Povijesno gledano, u svijetu statistike i vjerojatnosti, realna funkcija definirana nad prostorom uzorka tradicionalno se naziva slučajna varijabla.

Ako prostor uzorka S ima generički element e - ishod eksperimenta, tada je slučajna varijabla funkcija X = X(e). Obično se e izostavlja iz notacije, pa se slučajna varijabla označava velikim slovom X.

Konstanta je trivijalna slučajna varijabla koja uvijek uzima istu vrijednost, bez obzira na ishod pokusa.

Način na koji se izračunavaju vjerojatnosti događaja koji uključuju slučajnu varijablu X ovisi o prirodi te slučajne varijable, tj. o mogućnosti brojanja skupa njezinih mogućih vrijednosti.

Slučajna varijabla naziva se diskretnom ako je skup njezinih mogućih vrijednosti konačan ili prebrojivo beskonačan.

Slučajna varijabla je kontinuirana (neprekidna) ako može poprimiti bilo koju vrijednost iz skupa realnih brojeva.

P{X = x} je funkcija vjerojatnosti i izračunava se zbrajanjem vjerojatnosti dodijeljenih željenim ishodima. Kumulativna funkcija distribucije je P{X <= x}. Poznavanje bilo koje od te dvije funkcije dovoljno je za izračun vjerojatnosti svih događaja uključenih u P.

Funkcija vjerojatnosti kontinuirane varijable naziva se funkcija gustoće vjerojatnosti.

Raspodjela slučajne varijable ima dva glavna parametra:

• očekivana vrijednost i
• varijanca.

Očekivana vrijednost slučajne varijable

Očekivana vrijednost slučajne varijable jest njezina teorijska srednja vrijednost.

Očekivana vrijednost slučajne varijable X izračunava se kao zbroj umnoška svake moguće vrijednosti slučajne varijable X_i i vjerojatnosti da se X_i pojavi:

Osnovno svojstvo očekivane vrijednosti je linearnost: Ako su X i Y slučajne varijable, a a i b konstante, tada

Varijanca i standardna devijacija slučajne varijable

Standardna devijacija je mjera raspršenja vjerojatnosti oko očekivane vrijednosti slučajne varijable.

Varijanca slučajne varijable izračunava se kao očekivana vrijednost (ponderirani zbroj) kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti slučajne varijable od njezine očekivane vrijednosti.

Standardna devijacija slučajne varijable dobiva se izračunavanjem kvadratnog korijena varijance.

Uz očekivanu vrijednost, varijanca ili standardna devijacija je parametar distribucije i koristi se za njezin opis.

Primjena standardne devijacije slučajne varijable vrlo je široka. Na primjer, u financijama, standardna devijacija cijene vrijednosnog papira mjera je rizika koji nosi taj vrijednosni papir - što je standardna devijacija manja, to je manji rizik i obrnuto.