Varijanca i standardna devijacija najčešće su korištene mjere varijabilnosti.
Varijanca uzorka označava se s2, a varijanca populacije s σ2.
Standardna devijacija uzorka označava se s, a parametar s σ.
Varijanca i standardna devijacija izravno su povezane jer je standardna devijacija kvadratni korijen varijance.
Poput aritmetičke sredine, koriste se na podacima koji su na intervalnoj ili omjernoj razini mjerenja.
Varijanca i standardna devijacija koriste se u inferencijalnoj statistici.
Formalna definicija varijance je da je to prosjek kvadrata razlike u rezultatima i aritmetičkoj sredini. Iz definicije slijedi da se pri izračunavanju varijance prvo izračunava razlika svakog rezultata od aritmetičke sredine, zatim se razlika kvadrira i kvadrat razlike dijeli s brojem rezultata u distribuciji. Formula za izračun varijance populacije je
Formula za izračun varijance uzorka, ako se koristi u svrhu opisa podataka je
a ako se koristi za statističko zaključivanje, tada je formula
Postoje dvije formule za izračun varijance uzorka, ovisno o svrsi za koju se koriste. Razlika između dvije formule je u nazivniku: formula za izračun varijance uzorka koja se koristi u svrhu opisivanja podataka ima n u nazivniku, a formula koja se koristi za izračun varijance uzorka za statističko zaključivanje ima n-1 u nazivniku. To znači da kako se n, odnosno veličina uzorka, povećava, razlika između vrijednosti varijance izračunatih pomoću dvije formule sve više se smanjuje.
Budući da je vrijednost varijance izračunata pomoću formule za opis podataka uvijek manja od vrijednosti varijance izračunate pomoću formule statističkog zaključivanja, vrijednost varijance izračunata pomoću prve formule bit će podcijenjena u usporedbi s varijancom populacije. Što je uzorak manji, to će izračunata vrijednost varijance uzorka biti podcijenjena u usporedbi sa stvarnom vrijednošću varijance populacije. Zbog toga se za izračun varijance uzorka najčešće koristi formula koja u nazivniku ima n-1.
Formula za izračun standardne devijacije populacije je
a za uzorak, bez obzira na svrhu korištenja
Varijanca nije prikladna za opisivanje varijabilnosti jer sadrži kvadrat odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine. Stoga se za opisivanje varijabilnosti koristi standardna devijacija.
Primjer: Izračun varijance i standardne devijacije
Na primjeru visine djevojčica u 52 razredu "X" osnovna škola (u cm) koju smo koristili za primjer izračuna aritmetičke sredine, medijana, moda i ranga, dobili smo sljedeće podatke: 140, 141, 138, 140, 122, 160, 154, 132, 148, 135, 140. Izračunali smo da je aritmetička srednja vrijednost 140,91 cm.
Ako nas zanima samo visina djevojčica u kategoriji 52, tada bismo se bavili populacijom. U ovom primjeru, navedene podatke ćemo smatrati uzorkom.
Postupak izračuna varijance i standardne devijacije prikazat ćemo kroz tablicu koja je formirana uzimajući u obzir sljedeću formulu za varijancu uzorka:
| X | Xi-X | (Xi-X)2 | X2 |
| 140 | -0.91 | 0.8281 | 19600 |
| 141 | 0,09 | 0,0081 | 19881 |
| 138 | -2,91 | 8,4681 | 19044 |
| 140 | -0,91 | 0,8281 | 19600 |
| 122 | -18,91 | 357,5881 | 14884 |
| 160 | 19,09 | 364,4281 | 25600 |
| 154 | 13.09 | 171.3481 | 23716 |
| 132 | -8.91 | 79.3881 | 17424 |
| 148 | 7,09 | 50,2681 | 21904 |
| 135 | -5,91 | 34,9281 | 18225 |
| 140 | -0,91 | 0,8281 | 19600 |
| Σ=1550 | 0 | Σ=1068,909 | Σ=219478 |
Zbir kvadrata odstupanja rezultata od aritmetičke sredine je 1068,909, s2=1068,909/(11-1)=106,89, a s=√106,89=10,34
Odgovor: Varijanca visine djevojčica u 52 razredu osnovne škole je s2=106,891, a standardna devijacija s=10,34.
Vrijednost standardne devijacije ili varijanse nikada ne može biti negativan broj. Negativna vrijednost standardne devijacije ili varijanse ukazuje na grešku u proračunu.
Najmanja moguća vrijednost varijanse i standardne devijacije je 0 i to se dešava kada su svi rezultati u distribuciji jednaki.
Varijansa i standardna devijacija su osjetljive na ekstremne vrijednosti, jer se zasnivaju na udaljenosti pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine.
varijabilnost
Komentari (0)