Slučajna varijabla

Funkcija je matematičko pravilo koje dodjeljuje jedinstveni realni broj svakom elementu datog skupa ishoda. Historijski gledano, u svijetu statistike i vjerovatnoće, realna funkcija definisana nad prostorom uzorka tradicionalno se naziva slučajna varijabla.

Ako prostor uzorka S ima generički element e - ishod eksperimenta, tada je slučajna varijabla funkcija X = X(e). Obično se e izostavlja iz notacije, pa se slučajna varijabla označava velikim slovom X.

Konstanta je trivijalna slučajna varijabla koja uvijek uzima istu vrijednost, bez obzira na ishod eksperimenta.

Način na koji se izračunavaju vjerovatnoće događaja koji uključuju slučajnu varijablu X zavisi od prirode te slučajne varijable, tj. od mogućnosti brojanja skupa njenih mogućih vrijednosti.

Slučajna varijabla se naziva diskretnom ili kontinuiranom ako je skup njenih mogućih vrijednosti konačan ili prebrojivo beskonačan.

Slučajna varijabla je kontinuirana ili neprekidna ako može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa realnih brojeva.

P{X = x} je funkcija vjerovatnoće i izračunava se sabiranjem vjerovatnoća dodijeljenih željenim ishodima. Kumulativna funkcija distribucije je P{X <= x}. Poznavanje bilo koje od ove dvije funkcije dovoljno je za izračunavanje vjerovatnoća svih događaja uključenih u P.

Funkcija vjerovatnoće kontinuirane varijable naziva se funkcija gustine vjerovatnoće.

Distribucija slučajne varijable ima dva glavna parametra:

• očekivana vrijednost i
• varijansa.

Očekivana vrijednost slučajne varijable

Očekivana vrijednost slučajne varijable je srednja vrijednost distribucije f.

Očekivana vrijednost slučajne varijable X izračunava se kao zbir proizvoda svake moguće vrijednosti slučajne varijable X_i i vjerovatnoće da se X_i pojavi:

Osnovno svojstvo očekivane vrijednosti je linearnost: Ako su X i Y slučajne varijable, a a i b konstante, tada

Varijanca i standardna devijacija slučajne varijable

Standardna devijacija je mjera disperzije vjerovatnoća oko očekivane vrijednosti slučajne varijable.

Varijanca slučajne varijable izračunava se kao zbir kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti slučajne varijable od njene očekivane vrijednosti.

Standardna devijacija slučajne varijable dobija se izračunavanjem kvadratnog korijena varijanse.

Uz očekivanu vrijednost, varijansa ili standardna devijacija je parametar distribucije i koristi se za njen opis.

Primjena standardne devijacije slučajne varijable su brojne. Na primjer, u finansijama, standardna devijacija cijene hartije od vrijednosti je mjera rizika koju nosi ta hartija od vrijednosti - što je manja standardna devijacija, to je manji rizik i obrnuto.