Varijansa i standardna devijacija su najčešće korištene mjere varijabilnosti.

Varijansa uzorka označava se sa s2, a varijansa populacije sa σ2.

Standardna devijacija uzorka označava se sa s, a parametar sa σ.

Varijansa i standardna devijacija su direktno povezane, jer je varijansa kvadrat standardne devijacije, a standardna devijacija je kvadratni korijen varijanse.

Poput aritmetičke sredine, koriste se na podacima koji su na intervalnom ili omjernom nivou mjerenja.

Varijansa i standardna devijacija se koriste u inferencijalnoj statistici.

Formalna definicija varijanse je da je to prosjek kvadrata razlike u rezultatima i aritmetičkoj sredini. Iz definicije slijedi da se pri izračunavanju varijanse prvo izračunava razlika svakog rezultata od aritmetičke sredine, zatim se razlika kvadrira i kvadrat razlike se dijeli s brojem rezultata u distribuciji. Formula za izračunavanje varijanse populacije je

Formula za izračunavanje varijanse populacije

Formula za izračunavanje varijanse uzorka, ako se koristi u svrhu opisa podataka je

Formula za izračunavanje varijanse uzorka kada se koristi u svrhu statističkog zaključivanja

a ako se koristi za statističko zaključivanje, onda je formula

Formula za izračunavanje varijanse kada se koristi u statističkom zaključivanju

Postoje dvije formule za izračunavanje varijanse uzorka, zavisno o svrsi za koju se koriste. Razlika između dvije formule je u nazivniku: formula za izračunavanje varijanse uzorka koja se koristi u svrhu opisivanja podataka ima n u nazivniku, a formula koja se koristi za izračunavanje varijanse uzorka za statističko zaključivanje ima n-1 u nazivniku. To znači da kako se n, ili uzrok, povećava, razlika između vrijednosti varijanse izračunatih pomoću dvije formule će se smanjivati.

Budući da je vrijednost varijanse izračunata pomoću formule za opis podataka uvijek manja od vrijednosti varijanse izračunate pomoću formule za statističko zaključivanje, vrijednost varijanse izračunata pomoću prve formule bit će podcijenjena u odnosu na varijansu populacije. Što je uzorak manji, to će izračunata vrijednost varijanse uzorka biti podcijenjena u odnosu na stvarnu vrijednost varijanse populacije. Iz tog razloga, formula koja ima n-1 u nazivniku se najčešće koristi za izračunavanje varijanse uzorka.

Formula za izračunavanje standardne devijacije populacije je

Formula za izračunavanje standardne devijacije populacije

a za uzorak, bez obzira na svrhu upotrebe

Formula za izračunavanje standardne devijacije uzorka

Varijansa nije pogodna za opisivanje varijabilnosti jer sadrži kvadrat odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine. Stoga se za opisivanje varijabilnosti koristi standardna devijacija.

Primjer: Izračunavanje varijanse i standardne devijacije

Na primjeru visine djevojčica u 52 razredu "X" osnovna škola (u cm) koju smo koristili za primjer izračunavanja aritmetičke sredine, medijane, moda i ranga, dobili smo sljedeće podatke: 140, 141, 138, 140, 122, 160, 154, 132, 148, 135, 140. Izračunali smo da je aritmetička srednja vrijednost 140,91 cm.

Ako bismo bili zainteresirani samo za visinu djevojčica u kategoriji 52, onda bismo se bavili populacijom. U ovom primjeru, navedene podatke ćemo smatrati uzorkom.

Postupak izračunavanja varijanse i standardne devijacije prikazat ćemo kroz tabelu koja je formirana uzimajući u obzir sljedeću formulu za varijansu uzorka:

Formula za izračunavanje varijanse uzorka za statističko zaključivanje

X Xi-X (Xi-X)2 X2
140 -0.91 0.8281 19600
141 0,09 0,0081 19881
138 -2,91 8,4681 19044
140 -0,91 0,8281 19600
122 -18,91 357,5881 14884
160 19,09 364,4281 25600
154 13.09 171.3481 23716
132 -8.91 79.3881 17424
148 7,09 50,2681 21904
135 -5,91 34,9281 18225
140 -0,91 0,8281 19600
Σ=1550 0  Σ=1068,909 Σ=219478

Zbir kvadrata odstupanja rezultata od aritmetičke sredine je 1068,909, s2=1068,909/(11-1)=106,89, a s=√106,89=10,34

Odgovor: Varijansa visine djevojčica u 52 razredu osnovne škole je s2=106,89, a standardna devijacija s=10,34.

Vrijednost standardne devijacije ili varijanse nikada ne može biti negativan broj. Negativna vrijednost standardne devijacije ili varijanse ukazuje na grešku u proračunu.

Najmanja moguća vrijednost varijanse i standardne devijacije je 0 i to se dešava kada su svi rezultati u distribuciji jednaki.

Varijansa i standardna devijacija su osjetljive na ekstremne vrijednosti, jer se zasnivaju na udaljenosti pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine.