Normalna distribucija vjerovatnoće

Normalna distribucija je unimodalna simetrična kontinuirana distribucija definisana s dva parametra: očekivanom vrijednošću ili aritmetičkom sredinom (μ) i varijansom (σ²). Budući da je normalna distribucija simetrična, vrijednosti aritmetičke sredine, moda i medijane su iste.

Normalna distribucija je takođe poznata kao Gaussova distribucija po njemačkom matematičaru i fizičaru Karlu Friedrichu Gaussu. On je analizirao podatke o kretanju komete i, na osnovu pretpostavke o normalnoj distribuciji grešaka u mjerenju njenog kretanja, uspješno predvidio gdje će se kometa pojaviti sljedeći put kada bude vidljiva, nakon što prođe iza Sunca. Kasnije je koncept usvojen u društvenim naukama.

Vrlo je uobičajeno pravilo da prirodne i društvene pojave konvergiraju prema srednjim vrijednostima, a da su ekstremne vrijednosti rijetke. To možemo vidjeti na primjerima visine i težine ljudi, grešaka u mjerenju, vremena maratona, brzine čitanja, zadovoljstva poslom, rezultata ispita itd. Zato je normalna distribucija veoma važna u statistici.

Drugi razlog zašto je normalna distribucija toliko važna je taj što se mnogi statistički testovi mogu provesti ako je slučajna varijabla koja bilježi rezultate posmatranog fenomena normalno distribuirana. Statistički testovi koji pretpostavljaju normalnu distribuciju su dovoljno "moćni" i ako su varijable samo približno normalno distribuirane, pa čak i ako je pretpostavka normalnosti ozbiljno narušena.

Normalna distribucija se takođe može koristiti kao aproksimacija u slučaju nekih varijabli koje su inherentno diskontinuirane, kao što su rezultati ispita, inteligencija itd.

Kriva normalne distribucije je zvonastog oblika i simetrična oko aritmetičke sredine. Vrijednost aritmetičke sredine određuje centar distribucije, a varijansa određuje širinu distribucije, kada se grafički prikaže. Kriva je definisana za sve elemente skupa realnih brojeva.

Funkcija gustine vjerovatnoće krive normalne distribucije je:

Ukupna površina ispod krive normalne distribucije uvijek je 1, a maksimum krive se nalazi u tački:

Većina vrijednosti normalno distribuirane slučajne varijable X, oko 99,7%, spada u raspon od 3 standardne devijacije od očekivane vrijednosti. Oko 95,44% vrijednosti leži u intervalu od dvije standardne devijacije oko očekivane vrijednosti, odnosno u rasponu [μ - 2σ, μ + 2σ]. Ovo se ponekad naziva pravilo 2 sigme.

Promjena parametara distribucije μ i σ² ne mijenja zvonasti oblik normalne krive, već samo lokaciju na apscisi i skalu. Ukupna površina ispod krive ostaje ista bez obzira na parametre, kao i pravilo 2 sigme.

Na slikama vidimo dvije slučajne varijable koje su normalno distribuirane, ali distribucija ima različite parametre. Na slici lijevo vidimo normalnu distribuciju s većom varijansom, tj. većom varijabilnosti rezultata oko srednje vrijednosti, te je stoga šira od one druge, gdje je varijabilnost rezultata manja.