Slučajna promjenljiva

Funkcija je matematičko pravilo koje svakom elementu datog skupa ishoda dodjeljuje jedinstven realan broj. U statistici i teoriji vjerovatnoće realna funkcija definisana nad prostorom uzorka se tradicionalno naziva slučajna promjenljiva.

Ako prostor uzorka S ima generički element e - ishod eksperimenta, tada je slučajna promjenljiva funkcija X = X(e). Obično se e izostavlja iz notacije, tako da se slučajna promjenljiva obilježava velikim slovom X.

Konstanta je trivijalna slučajna promjenljiva koja uvijek uzima istu vrijednost, bez obzira na ishod eksperimenta.

Način na koji se računaju vjerovatnoće događaja koji uključuju slučajnu promjenljivu X zavisi od prirode te slučajne promjenljive, tj. od mogućnosti da se prebroji skup njenih mogućih vrijednosti.

Za slučajnu promjenljivu se kaže da je prekidna ili diskretna ako je skup njenih mogućih vrijednosti konačan ili prebrojivo beskonačan.

Slučajna promjenljiva je neprekidna ili kontinuelna ukoliko može da uzme bilo koju vrijednost iz određenog intervala ili podskupa realnih brojeva.

P{X = x} je funkcija vjerovatnoće, a izračunava se sabiranjem vjerovatnoća dodijeljenih poželjnim ishodima. Kumulativna funkcija distribucije je P{X <= x}. Poznavanje bilo koje od ove dvije funkcije je dovoljno za izračunavanje vjerovatnoća svih događaja koji su uključeni u P.

Funkcija gustine vjerovatnoće je analogna funkciji vjerovatnoće, ali se koristi isključivo za neprekidne slučajne promjenljive.

Dva najvažnija momenta distribucije slučajne promjenljive su:

• očekivana vrijednost i
• varijansa.

Očekivana vrijednost slučajne promjenljive

Očekivana vrijednost slučajne promjenljive je srednja vrijednost distribucije.

Očekivana vrijednost slučajne promjenljive X se računa kao suma proizvoda svake moguće vrijednosti slučajne promjenljive x_i i vjerovatnoće da se desi x_i:

Osnovna osobina očekivane vrijednosti je linearnost: ako su X i Y slučajne promjenljive, a a i b konstante, tada važi

Varijansa i standardna devijacija slučajne promjenljive

Varijansa slučajne promjenljive se izračunava kao zbir kvadrata odstupanja pojedinih vrijednosti slučajne promjenljive od njene očekivane vrijednosti, pomnoženih vjerovatnoćama tih vrijednosti.

Standardna devijacija je mjera disperzije vjerovatnoća oko očekivane vrijednosti slučajne promjenljive. Standardna devijacija slučajne promjenljive se dobija kao kvadratni korijen varijanse.

Zajedno sa očekivanom vrijednošću, varijansa, odnosno standardna devijacija, je parametar distribucije i koristi se za njen opis.

Primjene standardne devijacije slučajne promjenljive su mnogobrojne. Na primjer, u finansijama je standardna devijacija cijena hartije od vrijednosti mjera rizika koji ta hartija od vrijednosti nosi - što je standardna devijacija manja, to je rizik manji, i obrnuto.