Osnovna pretpostavka binomne distribucije je da postoji konačan broj n nezavisnih eksperimenata u kojima je mogući ishod "uspjeh" ili "neuspjeh". Vjerovatnoća "uspjeha" je p i ista je za sve eksperimente, dok je vjerovatnoća "neuspjeha" 1-p.

Činjenica da niz brojeva slijedi binomnu distribuciju može se skraćeno napisati kao

X ~ B(n, p)

gdje

X je slučajna varijabla,
B je oznaka binomne distribucije,
n je broj eksperimenata i
p je vjerovatnoća uspjeha.

Vrijednosti n i p nazivaju se parametri distribucije i obje su neophodne za potpuni opis distribucije.

Slučajna varijabla X predstavlja ukupan broj uspjeha u fiksnom broju n nezavisnih eksperimenata.

Funkcija vjerovatnoće binomne distribucije, tj. vjerovatnoća pojave r uspjeha iz n nezavisnih eksperimenata, gdje je u svakom eksperimentu vjerovatnoća uspjeha p, glasi

Binomna distribucija

gdje je 0 ≤ r ≤ n

Broj eksperimenata n je ekvivalentan konceptu veličine uzorka.

Binomna distribucija se može koristiti kao model uzorkovanja samo kada se uzorkovanje vrši s ponavljanjem, tj. kada odabrani element ponovo učestvuje u selekciji. Samo u izuzetnim slučajevima, kada je populacija izuzetno velika, binomna distribucija se može aproksimirati, jer se smatra da jedan nedostajući element populacije ima vrlo mali uticaj na vjerovatnoću izbora sljedećeg elementa.

Primjer: Bacanje kocke

Slovo A je napisano na 4 strane kocke, dok je slovo B napisano na preostale dvije strane. Kolika je vjerovatnoća da će se od 4 bacanja slovo A pojaviti 2 puta?

Odgovor: U našem primjeru, n=4, jer imamo ukupno 4 bacanja, a r=2. Vjerovatnoća da će kockica ispasti slovo A je 4/6, ili p=2/3, što znači da je (1-p)=1/3.

Koristeći formulu binomne distribucije, dobijamo

P(2) = 4!/(2!·2!) · (2/3)2 · (1/3)2 = 6 · 4/9 · 1/9 = 24/81 = 29,63%

Oblik binomne distribucije zavisi od vjerovatnoće uspjeha p. Kada je p = 0,5, distribucija je simetrična, dok je za ostale vrijednosti asimetrična.

Ako je p<0,5, distribucija je pozitivna, tj. nagnuta udesno. Ako je p>0,5, distribucija je negativna, tj. nagnuta ulijevo. Binomna distribucija iz primjera može se grafički predstaviti na sljedeći način:

Binomna distribucija

Vidimo da u našem primjeru distribucija nije simetrična. Pošto je p = 2/3 > 0,5, distribucija je negativna, tj. lijevo zakrivljena.

Slučajna varijabla s binomnom distribucijom B(n, p) ima očekivanu vrijednost

E(X) = np

Varijansa slučajne varijable s binomnom distribucijom B(n, p) izračunava se formulom

σ2(X) = np(1 - p)

Binomna distribucija ima dva moda ako i samo ako je vrijednost (n + 1)p cijeli broj; u suprotnom, distribucija ima samo jedan mod.

Ako je broj eksperimenata velik i vjerovatnoća uspjeha p nije ekstremno mala, oko 95% opažanja slučajne varijable X~B(n, p) leži u rasponu od dvije standardne devijacije oko očekivane vrijednosti, odnosno u intervalu [E(X) - 2σ, E(X) + 2σ].