Geometrijska distribucija je definisana funkcijom

P(X=x) = (1 - p)(x-1)p

Da bi distribucija bila geometrijska, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

  • eksperimenti moraju biti nezavisni;
  • ishod svakog eksperimenta je ili uspjeh ili neuspjeh i
  • vjerovatnoća uspjeha u svakom eksperimentu je ista.

Primjer: Bacanje novčića

Kolika je vjerovatnoća da će novčić pasti na pismo iz 5. pokušaja?

Odgovor: U ovom primjeru, A je događaj "novčić je pao na pismo", a P(A) = p. Vjerovatnoća da će se dogoditi događaj B "novčić je pao na glavu" izražena je kao P(B) = 1-p, gdje je 0 < p < 1.

Pod ovim pretpostavkama, vrijednost slučajne varijable X se dobija kao broj neuspjelih pokušaja + 1 (jer se računa i "uspjeh"). Budući da je svaki eksperiment nezavisan događaj, vjerovatnoća da će se događaj A dogoditi u i-tom eksperimentu dobija se kao proizvod vjerovatnoće da će se događaj B dogoditi u prethodnih i-1 pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj A dogoditi.

P1 = p
P2 = (1-p)p
P3 = (1-p)2p
P4 = (1-p)3p
P5 = (1-p)4p

Budući da je vjerovatnoća da se dobije pismo na fer novčiću 0,5, dobijamo

P(A) = 0,54 * 0,5 = 0,03125, ili 3,13%

Geometrijska distribucija se može grafički predstaviti histogramom.

Geometrijska distribucija

Distribucija se naziva geometrijskom jer vjerovatnoće opadaju u geometrijskoj progresiji.

Kumulativne vjerovatnoće geometrijske distribucije izračunavaju se formulom

P(X ≤ x) = 1 - (1 - p)x

ili

P(X > x) = (1 - p)x

Primjer: Autostoper

Pretpostavimo da samo 1% vozača stane da pokupi autostopera. Petar stoji na cesti i pruža prst. Kolika je vjerovatnoća da će ga proći najmanje 7 automobila prije nego što ga neko zaustavi i pokupi?

Odgovor: Svako vozilo koje prođe pored Petra može biti uspješno ako ga pokupi ili neuspješno ako ga ne pokupi. Vjerovatnoća da će ga neko pokupiti je p=0,01, ili (1-p)=q=0,99 je vjerovatnoća da ga vozilo neće pokupiti. Neka je X ukupan broj vozila koja prođu pored Petra, uključujući i ono koje ga pokupi.

Koristeći formulu za kumulativnu distribuciju vjerovatnoće geometrijske distribucije, dobijamo

P(X ≤ 7) = 1 - (1 - 0,01)7 = 1 - 0,9321 = 0,0679, ili 6,79%

To znači da je vjerovatnoća da će proći strogo više od 7 automobila prije nego što neko pokupi Petra jednaka

P(X > 7) = (1 - 0,01)7 = 0,9321, ili 93,21%.

Sve geometrijske raspodjele imaju isti oblik - beskonačan niz opadajućih vjerovatnoća. Stepen smanjenja vjerovatnoće zavisi od veličine p, ali mod distribucije je uvijek za x=1. Ovo generira paradoks prema kojem se svaki događaj najčešće javlja u prvom pokušaju!

Očekivana vrijednost geometrijske distribucije izračunava se formulom

Očekivana vrijednost geometrijske distribucije

Varijansa geometrijske distribucije izračunava se formulom

Varijansa geometrijske distribucije