Poasonova distribucija nastaje kada su vrijednosti slučajne promjenljive X broj događaja koji se dešavaju u različitim oblastima vremena i prostora pod sljedećim uslovima:

  • događaji se dešavaju nezavisno jedan od drugog;
  • vjerovatnoća svih događaja je ista;
  • nije moguće da se dva događaja dese u tačno istoj oblasti vremena ili prostora i
  • prosječan broj dešavanja događaja u datom vremenskom intervalu je konačan i poznat.

Za događaje koji ispunjavaju ove uslove se kaže da su definisani Poasonovim procesom. U stvarnom svijetu postoji mnogo Poasonovih procesa:

  • broj telefonskih poziva na slučajno izabrani dan,
  • broj automobila koji prođu putem u slučajno izabranom periodu od sat vremena,
  • broj saobraćajnih nesreća na autoputevima slučajno izabranog regiona u slučajno izabranom mjesecu,
  • broj grešaka u kucanju na slučajno izabranoj stranici sajta i dr.

Ako slučajna promjenljiva X ima Poasonovu distribuciju sa očekivanom vrijednošću λ, skraćeno se piše

X ~ Po(λ)

Funkcija vjerovatnoće glasi:

Funkcija vjerovatnoće Poasonove distribucije

Očekivana vrijednost Poasonove distribucije je

E(X) = λ

Varijansa Poasonove distribucije je

σ2(X) = λ

Primjer: Broj poziva na 988

Iz iskustva je poznato da tipičnim radnim danom između 11 i 12 časova prije podne službi informacija u prosjeku stižu po 2 poziva svakog minuta. Pretpostavljajući da poziv može biti upućen u bilo koje doba dana, odredite vjerovatnoću da će za 1 minut stići 4 poziva.

Odgovor: Pošto pozivi stižu u slučajno izabranim trenucima, radi se o Poasonovoj raspodjeli. Neka slučajna promjenljiva X bude definisana kao broj poziva koji pristižu u slučajno izabranom minutu i, pošto je prosječan broj poziva po minutu 2 (tj. λ=2), slijedi:

P(X = 4) = (24 · e-2) / 4! = 0,0902, tj. 9,02 %.

Pošto distribucija nije ograničena po broju vrijednosti koje slučajna promjenljiva može da uzme, grafički prikazujemo samo određeni broj vrijednosti.

Ako λ nije cijeli broj, mod distribucije je najveći cijeli broj manji od λ. Ako je λ cijeli broj, distribucija ima dva moda: λ i λ-1. Za vrijednosti λ < 1 mod distribucije je jednak 0, a distribucija je asimetrična. Što je očekivana vrijednost veća, to distribucija dobija simetričniji oblik. Na velikom broju eksperimenata približno 95% opservacija se nalazi u rasponu od dvije standardne devijacije oko očekivane vrijednosti, odnosno u intervalu [λ - 2σ, λ + 2σ].

U našem primjeru, kada izračunamo vjerovatnoće za vrijednosti slučajne promjenljive X u rasponu od 0 do 9, dobijamo oblik kao na grafikonu.

Poasonova distribucija

Između Poasonove i binomne distribucije postoji veza koja se može opisati na sljedeći način: ako slučajna promjenljiva X sa parametrima n i p ima binomnu distribuciju, pri čemu je n dovoljno veliko, a p približno jednako 0, tada je distribucija te slučajne promjenljive približno Poasonova distribucija sa očekivanom vrijednošću np.