Poissonova distribucija se javlja kada su vrijednosti slučajne varijable X broj događaja koji se javljaju u različitim regionima vremena i prostora pod sljedećim uslovima:
- događaji se javljaju nezavisno jedan od drugog;
- vjerovatnoća svih događaja je ista;
- nije moguće da se dva događaja dogode u potpuno istom regionu vremena ili prostora i
- prosječna vrijednost broja pojavljivanja događaja u datom vremenskom intervalu je konačna i poznata.
Za događaje koji ispunjavaju ove uslove kaže se da su definirani Poissonovim procesom. U stvarnom svijetu postoji mnogo Poissonovih procesa:
- broj telefonskih poziva na slučajno odabrani dan,
- broj automobila koji prođu cestom u slučajno odabranom satu,
- broj saobraćajnih nesreća na autoputevima u slučajno odabranoj regiji u slučajno odabranom mjesecu,
- broj tipografskih grešaka na slučajno odabranoj web stranici itd.
Ako slučajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju s očekivanom vrijednošću λ, skraćeno se označava kao
X ~ Po(λ)
Funkcija vjerovatnoće je:
Očekivana vrijednost Poissonove distribucije je
E(X) = λ
Varijansa Poissonove distribucije je
σ2(X) = λ
Primjer: Broj poziva na 988
Iz iskustva je poznato da tokom tipičnog radnog dana između 11:00 i 12:00 sati, služba informacija prima u prosjeku 2 poziva svake minute. Pod pretpostavkom da se poziv može uputiti u bilo koje doba dana, odredite vjerovatnoću da će 4 poziva stići u 1 minuti.
Odgovor: Budući da pozivi stižu u nasumično odabranom trenutku, ovo je Poissonova distribucija. Neka je slučajna varijabla X definirana kao broj poziva koji stižu u nasumično odabranoj minuti vremena i budući da je prosječan broj poziva u minuti 2 (tj. λ=2), slijedi:
P(X = 4) = (24 · e-2) / 4! = 0,0902, tj. 9,02 %
Budući da distribucija nije ograničena u broju elemenata koje slučajna varijabla može imati, prikazujemo samo određeni broj elemenata.
Ako λ nije cijeli broj, mod distribucije je najveći cijeli broj manji od λ. Ako je λ cijeli broj, distribucija ima dva moda: λ i λ-1. Za vrijednosti λ < 1, mod distribucije je 0, a distribucija je asimetrična. Što je veća očekivana vrijednost, distribucija postaje simetričnija. U velikom broju eksperimenata, približno 95% opažanja leži u rasponu od dvije standardne devijacije oko očekivane vrijednosti, odnosno u intervalu [λ - 2σ, λ + 2σ].
U našem primjeru, kada izračunamo vjerovatnoće za vrijednosti slučajne varijable X u rasponu od 0 do 9, dobijamo oblik prikazan na grafiku.
Postoji veza između Poissonove i binomne distribucije koja se može opisati na sljedeći način: ako slučajna varijabla X s parametrima n i p ima binomnu distribuciju, gdje je n dovoljno veliko, a p približno jednako 0, tada je distribucija te slučajne varijable približno Poissonova distribucija s očekivanom vrijednošću np.
Komentari (0)