Ako se slučajni događaji pojavljuju u slučajnim trenucima prema Poissonovu procesu, tada broj događaja u zadanom vremenskom intervalu prati Poissonovu distribuciju.

Ako λ označava brzinu kojom se događaji događaju po jedinici vremena, tada je prosječno vrijeme između dvaju događaja jednako 1/λ, a pojedinačni vremenski intervali variraju oko te vrijednosti. Raspodjela ovih intervala naziva se eksponencijalna distribucija.

Funkcija gustoće vjerojatnosti definirana je za svaku pozitivnu vrijednost intervala kao

f(x) = λe-λx

Kumulativna funkcija distribucije dana je formulom

F(x) = 1 - e-λx

Eksponencijalna distribucija je kontinuirani ekvivalent geometrijske distribucije, pa im je oblik sličan.

Eksponencijalna distribucija

Zanimljivo je da oblik krivulje ostaje isti ako se bilo koji dio krivulje izreže i poveća. Ovo se svojstvo naziva „nedostatak pamćenja Poissonova procesa“, a proizlazi iz činjenice da vjerojatnost da se sljedeći događaj neće dogoditi u sljedećih b vremenskih jedinica ne ovisi ni o čemu što se dogodilo prije.

Očekivana vrijednost eksponencijalne distribucije izračunava se formulom

Očekivana vrijednost eksponencijalne distribucije

Varijanca eksponencijalne distribucije izračunava se formulom

Varijanca eksponencijalne distribucije

Primjer: Kada će dijete izgubiti igračku?

Dijete ima igračku. Vjerojatnost da će je izgubiti u prvih 10 dana je 35%. Kolika je vjerojatnost da dijete neće izgubiti igračku 30 dana?

Odgovor: Ako uzmemo 10 dana kao jedinicu vremena, tada imamo da

P(X<1)=0,35 što implicira da

(1-e-λ) = 0,35, dakle e-λ = 0,65. Logaritmiranjem dobivamo: -λ = ln(0,65) ≈ -0,4308, odnosno λ ≈ 0,4308.

Sada računamo vjerojatnost da dijete neće izgubiti igračku 30 dana (P(X > 3)):

P(X>3) = e-3λ = e-3·0,4308 = e-1,2924 ≈ 0,2746, ili 27,46 %.