Poissonova distribucija se javlja kada su vrijednosti slučajne varijable X broj događaja koji se događaju u različitim vremenskim intervalima i prostornim područjima pod sljedećim uvjetima:

  • događaji se događaju neovisno jedan od drugoga;
  • vjerojatnost svih događaja je ista;
  • nije moguće da se dva događaja dogode u potpuno istom području vremena ili prostora i
  • prosječna vrijednost broja pojavljivanja događaja u danom vremenskom intervalu je konačna i poznata.

Za događaje koji zadovoljavaju ove uvjete kaže se da su definirani Poissonovim procesom. U stvarnom svijetu postoji mnogo Poissonovih procesa:

  • broj telefonskih poziva na slučajno odabrani dan,
  • broj automobila koji prolaze cestom u slučajno odabranom satu,
  • broj prometnih nesreća na autocestama u slučajno odabranoj regiji u slučajno odabranom mjesecu,
  • broj tipografskih pogrešaka na slučajno odabranoj mrežnoj stranici itd.

Ako slučajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju s očekivanom vrijednošću λ, skraćeno se označava kao

X ~ Po(λ)

Funkcija vjerojatnosti glasi:

Funkcija vjerojatnosti Poissonove distribucije

Očekivana vrijednost Poissonove distribucije je

E(X) = λ

Varijanca Poissonove distribucije je

σ2(X) = λ

Primjer: Broj poziva na 988

Iz iskustva je poznato da tijekom tipičnog radnog dana između 11 i 12 sati informacijska služba prima u prosjeku 2 poziva svake minute. Uz pretpostavku da se poziv može uputiti u bilo koje doba dana, odredite vjerojatnost da će 4 poziva stići u 1 minuti.

Odgovor: Budući da pozivi stižu u slučajno odabranom trenutku, ovo je Poissonova distribucija. Neka je slučajna varijabla X definirana kao broj poziva koji stižu u slučajno odabranoj minuti vremena, a budući da je prosječan broj poziva u minuti 2 (tj. λ=2), slijedi:

P(X = 4) = (24 · e-2) / 4! = 0,0902, tj. 9,02 %

Budući da distribucija nije ograničena u broju elemenata koje slučajna varijabla može imati, prikazujemo samo određeni broj elemenata.

Ako λ nije cijeli broj, mod distribucije je najveći cijeli broj manji od λ. Ako je λ cijeli broj, distribucija ima dva moda: λ i λ - 1. Za vrijednosti λ < 1 mod distribucije jednak je 0, a distribucija je asimetrična. Što je veća očekivana vrijednost, distribucija postaje simetričnija. U velikom broju pokusa približno 95 % opažanja leži u rasponu od dvije standardne devijacije oko očekivane vrijednosti, odnosno u intervalu [λ - 2σ, λ + 2σ].

U našem primjeru, kada izračunamo vjerojatnosti za vrijednosti slučajne varijable X u rasponu od 0 do 9, dobivamo oblik prikazan na grafu.

Poissonova distribucija

Postoji veza između Poissonove i binomne distribucije koja se može opisati na sljedeći način: ako slučajna varijabla X s parametrima n i p ima binomnu distribuciju, gdje je n dovoljno velik, a p približno jednak 0, tada je distribucija te slučajne varijable približno Poissonova distribucija s očekivanom vrijednošću np.