Vjerojatnost unije

Princip aditivnosti jedan je od osnovnih principa koji kaže da je vjerojatnost unije, ako se vjerojatnost događaja može predstaviti kao unija nekoliko drugih međusobno isključivih događaja, jednaka zbroju vjerojatnosti pojedinačnih događaja koji čine uniju.

Ako s P(A) označimo vjerojatnost događaja A, ako su A1, A2,..., An međusobno isključivi događaji, tj.

Ai presjek Aj je prazan skup za svaki i različit od j

tada vrijedi

P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

Ova jednadžba je osnova moderne definicije vjerojatnosti. Iz toga slijedi da je za svaki događaj A pridružen komplementarni događaj A' koji se sastoji od onih ishoda koji ne pripadaju A.

Budući da je Ai ∩ Aj = ∅ za svaki i ≠ j, A ∪ A' = S i P(S) = 1, slijedi da je P(A') = 1 - P(A).

Uvjetna vjerojatnost

Uvjetna vjerojatnost događaja B, za dani A, koja se piše P(B|A) definirana je kao:

Uvjetna vjerojatnost

Događaji A i B nazivaju se neovisnima ako

P(B|A) = P(B)

To znači da se vjerojatnost događaja B ne mijenja bez obzira na to je li poznato da se događaj A dogodio.

Neovisnost događaja igra glavnu ulogu u zakonu velikih brojeva, središnjem graničnom teoremu, Poissonovoj distribuciji i Brownovom gibanju.

Vjerojatnost složenog događaja

Ako se događaj sastoji od dva ili više međusobno neovisnih događaja, tada govorimo o vjerojatnosti presjeka neovisnih događaja. Budući da su ti događaji međusobno neovisni, vjerojatnost da će se dogoditi jedan događaj ne utječe na vjerojatnost da će se dogoditi drugi događaj.

Vjerojatnost takvog složenog događaja izračunava se pomoću formule:

P(A) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An)

gdje

A - složeni događaj,
A1, ..., An - elementarni događaji koji su međusobno neovisni,
P(A) - vjerojatnost složenog događaja i
P(Ai) - vjerojatnost neovisnog događaja i

Ova formula je također poznata kao pravilo množenja.

Primjer: Vjerojatnost složenog događaja

Pitanje: Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju kocke dobije broj 4, a pri bacanju novčića pismo (ili glava)?

Odgovor: Dva elementarna događaja su:

  • bacanjem kocke dobiva se 4
  • bacanjem novčića dobiva se pismo

 

Budući da je bacanjem kocke moguće dobiti 6 različitih ishoda, od kojih je 1 povoljan, vjerojatnost dobivanja 4 pri bacanju kocke je 1/6.
Kao rezultat bacanja novčića moguća su dva ishoda, od kojih je 1 povoljan, pa je vjerojatnost dobivanja pisma 1/2.

Sukladno tome, vjerojatnost složenog događaja u ovom slučaju jednaka je:

P=1/6 x 1/2 = 1/12.