Osnovna pretpostavka binomne distribucije jest da postoji konačan broj n neovisnih pokusa u kojima je mogući ishod "uspjeh" ili "neuspjeh". Vjerojatnost "uspjeha" je p i ista je za sve pokuse, dok je vjerojatnost "neuspjeha" 1-p.

Činjenica da niz brojeva slijedi binomnu distribuciju može se skraćeno zapisati kao

X ~ B(n, p)

gdje

X je slučajna varijabla,
B je oznaka binomne distribucije,
n je broj pokusa i
p je vjerojatnost uspjeha.

Vrijednosti n i p nazivaju se parametrima distribucije i obje su potrebne za potpuni opis distribucije.

Slučajna varijabla X označava ukupan broj ostvarenih uspjeha u zadanih n pokusa.

Funkcija vjerojatnosti binomne distribucije, tj. vjerojatnost pojave r uspjeha iz n neovisnih pokusa, gdje je u svakom pokusu vjerojatnost uspjeha p, glasi

Binomna distribucija

gdje je 0 ≤ r ≤ n

Broj pokusa n ekvivalentan je konceptu veličine uzorka.

Binomna distribucija može se koristiti kao model uzorkovanja samo kada se uzorkovanje provodi s ponavljanjem, tj. kada odabrani element ponovno sudjeluje u odabiru. Samo u iznimnim slučajevima, kada je populacija izuzetno velika, binomna distribucija se može aproksimirati, jer se smatra da jedan nedostajući element populacije ima vrlo mali utjecaj na vjerojatnost odabira sljedećeg elementa.

Primjer: Bacanje kocke

Slovo A napisano je na četirima plohama kocke, dok je slovo B napisano na preostale dvije plohe. Kolika je vjerojatnost da će se od 4 bacanja slovo A pojaviti 2 puta?

Odgovor: U našem primjeru, n=4, jer imamo ukupno 4 bacanja, a r=2. Vjerojatnost da će kocka okrenuti slovo A je 4/6, ili p=2/3, što znači da je (1-p)=1/3.

Koristeći formulu binomne distribucije, dobivamo

P(2) = 4!/(2!·2!) · (2/3)2 · (1/3)2 = 6 · 4/9 · 1/9 = 24/81 = 29,63 %

Oblik binomne distribucije ovisi o vjerojatnosti uspjeha p. Kada je p = 0,5, distribucija je simetrična, dok je za ostale vrijednosti asimetrična.

Ako je p < 0,5, distribucija je pozitivno (desno) asimetrična. Ako je p > 0,5, distribucija je negativno (lijevo) asimetrična. Binomna distribucija iz primjera može se grafički prikazati na sljedeći način:

Binomna distribucija

Vidimo da u našem primjeru distribucija nije simetrična. Budući da je p = 2/3 > 0,5, distribucija je negativno (lijevo) asimetrična.

Slučajna varijabla s binomnom distribucijom B(n, p) ima očekivanu vrijednost

E(X) = np

Varijanca slučajne varijable s binomnom distribucijom B(n, p) izračunava se formulom

σ2(X) = np(1 - p)

Binomna distribucija ima dva moda ako i samo ako je vrijednost (n + 1)p cijeli broj; u suprotnom, distribucija ima samo jedan mod.

Ako je broj eksperimenata velik i vjerojatnost uspjeha p nije ekstremno mala, oko 95 % opažanja slučajne varijable X~B(n, p) leži u rasponu od dvije standardne devijacije oko očekivane vrijednosti, odnosno u intervalu [E(X) - 2σ, E(X) + 2σ].