Broj događaja u datom vremenskom intervalu ima Poissonovu distribuciju, ako se slučajni događaj dogodi u slučajnim trenucima vremena prema Poissonovom procesu.

Ako λ označava brzinu kojom se događaji događaju po jedinici vremena, tada je prosječno vrijeme između dva događaja jednako 1/λ, a pojedinačni vremenski intervali variraju oko ove vrijednosti. Distribucija ovih intervala naziva se eksponencijalna distribucija.

Funkcija gustine vjerovatnoće je definirana za svaku pozitivnu vrijednost intervala kao

f(x) = λe-λx

Kumulativna funkcija distribucije je data formulom

F(x) = 1 - e-λx

Eksponencijalna distribucija je kontinuirani ekvivalent geometrijske distribucije, tako da im je oblik sličan.

Eksponencijalna distribucija

Zanimljivo je da oblik krive ostaje isti ako se bilo koji dio krive izreže i uveća. Ovo svojstvo se naziva „nedostatak pamćenja Poissonovog procesa“, a proizilazi iz činjenice da vjerovatnoća da se sljedeći događaj neće dogoditi u sljedećih b vremenskih jedinica ne zavisi ni od čega što se dogodilo prije.

Očekivana vrijednost eksponencijalne distribucije izračunava se formulom

Očekivana vrijednost eksponencijalne distribucije

Varijansa eksponencijalne distribucije izračunava se formulom

Varijansa eksponencijalne distribucije

Primjer: Kada će dijete izgubiti igračku?

Dijete ima igračku. Vjerovatnoća da će je izgubiti u prvih 10 dana je 35%. Kolika je vjerovatnoća da dijete neće izgubiti igračku 30 dana?

Odgovor: Ako uzmemo 10 dana kao jedinicu vremena, onda imamo da

P(X<1)=0,35 što implicira da

(1-e-λ)=0,35, e-λ=0,65, -λ=ln(0,65)=-0,4308, λ=0,4308.

Na osnovu ovih podataka dobijamo

P(X>3)=e(-0,4308*3)=e-1,2924=0,2746=27,46%.