Geometrijska distribucija definirana je funkcijom

P(X=x) = (1 - p)(x-1)p

Da bi distribucija bila geometrijska, moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:

  • pokusi moraju biti neovisni;
  • ishod svakog pokusa je ili uspjeh ili neuspjeh i
  • vjerojatnost uspjeha u svakom pokusu je ista.

Primjer: Bacanje novčića

Kolika je vjerojatnost da će novčić pasti na pismo iz 5. pokušaja?

Odgovor: U ovom primjeru, A je događaj "novčić je pao na pismo", a P(A) = p. Vjerojatnost da će se dogoditi događaj B "novčić je pao na glavu" izražena je kao P(B) = 1-p, gdje je 0 < p < 1.

Pod tim pretpostavkama, vrijednost slučajne varijable X dobiva se kao broj neuspjelih pokušaja + 1 (jer se računa i "uspjeh"). Budući da je svaki eksperiment neovisan događaj, vjerojatnost da će se događaj A dogoditi u i-tom eksperimentu dobiva se kao umnožak vjerojatnosti događaja B u prethodnih i-1 pokušaja i vjerojatnosti da će se događaj A dogoditi.

P1 = p
P2 = (1-p)p
P3 = (1-p)2p
P4 = (1-p)3p
P5 = (1-p)4p

Budući da je vjerojatnost da će se pojaviti rep na poštenom novčiću 0,5, dobivamo

P(A) = 0,54 · 0,5 = 0,03125, ili 3,12 %

Geometrijska distribucija može se grafički prikazati histogramom.

Geometrijska distribucija

Distribucija se naziva geometrijskom jer vjerojatnosti opadaju u geometrijskoj progresiji.

Kumulativne vjerojatnosti geometrijske distribucije izračunavaju se formulom

P(X ≤ x) = 1 - (1 - p)x

ili

P(X > x) = (1 - p)x

Primjer: Autostoper

Pretpostavimo da samo 1% vozača stane kako bi pokupilo autostopera. Petar stoji na cesti i pruža prst. Kolika je vjerojatnost da će ga proći barem 7 automobila prije nego što netko stane i pokupi ga?

Odgovor: Svako vozilo koje prođe pored Petra može biti uspješno ako ga pokupi ili neuspješno ako ga ne pokupi. Vjerojatnost da će ga netko pokupiti je p=0,01, ili (1-p)=q=0,99 je vjerojatnost da ga vozilo neće pokupiti. Neka je X ukupan broj vozila koja su prošla pokraj Petra, uključujući i ono vozilo koje ga je na kraju pokupilo.

Koristeći formulu za kumulativnu distribuciju vjerojatnosti geometrijske distribucije, dobivamo

P(X≤7) = 1 - (1-0,01)7 = 1 - 0,9321 = 0,0679, ili 6,79 %

To znači da je vjerojatnost da će proći strogo više od 7 vozila prije nego što netko pokupi Petra jednaka

P(X>7) = (1-0,01)7 = 0,9321, ili 93,21 %

Sve geometrijske distribucije imaju isti oblik - beskonačan niz opadajućih vjerojatnosti. Stupanj smanjenja vjerojatnosti ovisi o veličini p, ali mod distribucije je uvijek za x=1. To generira paradoks prema kojem se svaki događaj najčešće događa u prvom pokušaju!

Očekivana vrijednost geometrijske distribucije izračunava se formulom

Očekivana vrijednost geometrijske distribucije

Varijanca geometrijske distribucije izračunava se formulom

Varijansa geometrijske distribucije